主に、強化学習

情報系の大学2年生が確率に関連したことを多めに書いてるブログ

解析学@数学の授業3

関数の極限

例(2 P.19)

 \lim_{x \to x_0} (f(x) - y_0 ) = 0となるための必要十分条件は lim_{x \to x_0} f(x) = y_0

 \| (f(x) - y_0 ) -0  \| < \epsilon \Leftrightarrow(同値) |f(x) -y_0| < \epsilon

したがって、次の2つの命題は同値である.

>黒板を消される<

問題書いていきます.

例3(P.16)

次の関係を証明しろ.
 sin^{-1}(x) + cos^{-1}(x) = \frac{\pi}{2}

例4(P.17)


(1) lim_{x \to 1} (1 + 2x ) = 3 \\
(2) lim_{x \to 1} \displaystyle \frac{1 -x^2}{1-x} = 2\\
(3) lim_{x \to x_0} x^2 = x_0^{2}\\

例5(P.18)

 x \to 0のとき sin \frac{1}{x} は収束しないことを証明しよ.

例6(P.19)


(1) lim_{x \to x_0} (3x - 2) = 3x_0 - 2\\
(2) lim_{x \to x_0} 3x^2 = 3x_0^2\\
(3) lim_{x \to x_0} f(x) = y_0 ならば lim_{h \to 0} f(x_0 + h)= y_0

例7(P.19)

 
lim_{x \to 0+0} \frac{ \|x \| }{x} = +1 \\
lim_{x \to 0-0} \frac{ \|x \| }{x} = -1