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主に、強化学習

情報系の大学2年生が確率に関連したことを多めに書いてるブログ

確率@数学との出会い

モンティホール問題

問題自体はプリント参照。

Marily vos Saunt 「Ask Marilyn」で、回答者は司会者によって一つのドアを開かれた後、選択しなうすべきだ、という見解を出した。


というのは、一発目に選択した時の確率は \frac{1}{3}であるが、司会者によって一つが開かれた後では、確率が \frac{1}{2}になるから、というものだった。


しかし、1万通ほど読者から「それ間違ってる死ね」というメール、お便りが来て色々討論となった。


そこである数学者?がモンテカルロ法を用いることによって確率的にMarilyさんが正しいことを導いた。

例1

赤と緑の2つのサイコロを投げる
可能な結果全体
 \Omega = { \{ (a,b) \hspace{5pt} | a,b \in \{1,2, \cdots , 6  \} \} } \hspace{20pt} \cdots 標本空間


 \omega \in \Omega、標本点
\Omega の部分集合 事象

例2


A = \{ (1,6) , (2,5), \cdots , (6,1) \}
\hspace{20pt} \Rightarrow 2つのサイコロが出た目は7


空集合、空事象
B = \{ (a,b) \in \Omega | a \in \{1,3,5 \} \}
\hspace{20pt} \Rightarrow 赤のサイコロの出た目は奇数

このとき
 A \land B = \{ (1,6),(3,4),(5,2) \}
\hspace{20pt} \Rightarrow AとBの両方が起こる


A \lor B , A^c が (黒板見えない)

例3

5円玉と10円玉を一枚ずつ投げる
[tex: \Omega = \{ (H,H) , (H,T) , (T,H) , (T,T) \}

例4

一枚のコイン投げで
 \Omega = \{ H,T \}
確率は?  Pr( \{ H \} )  = \frac{1}{2} , \frac{3}{5}

Def.

(確率) 標本空間 \Omega の各自称A に対して、実数Pr(A) を対応させる集合関数P が確率であるとは、次の2条件が満たされることである。

確認しておく証明

単調性:     Pr( \bigcup_{k=1}^{\infty} A_k) \leq \sum_{k=1}^{\infty} Pr(A_k)
劣加法性     Pr(A_k) =0 (k =1,2, \cdots) \Rightarrow  Pr( \bigcup_{k=1}^{\infty} A_k) = 0
連続性(難しい) Pr(B_k) = (k=1,2, \cdots) \Rightarrow Pr( \bigcap ... )