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主に、強化学習

情報系の大学2年生が確率に関連したことを多めに書いてるブログ

確率と計算@順列と組み合わせ、確率、確率変数、確率分布

順列と組み合わせ

順列


\begin{eqnarray*}
  && {}_n \mathrm{P} _r = \frac{n!}{(n-r)!} \ = n(n-1) \dots (n-r+1)
\end{eqnarray*} \\ \\


例題

aaabbという5枚のカードと、qwertという5枚のカードを使って各々作れる単語数x,yとする.
x,yを答えろ.

答え
 
1. \ x!3!2! \ = \ 5! \\
\ \ x! = \frac{5!}{3!2!} = 10 \\
2. \ y!1!1!1!1!1! \ = \ 5! \\
\ \ y! = \frac{5!}{1} = 120

>>> import math
>>> from itertools import permutations as p
>>> x = 'aaabb'
>>> y = 'qwert'

>>> >>> f = math.factorial
>>> f(5)/( f(3)*f(2) )
10

>>> for i,j in enumerate(p(y)):
...  print i,j

0 ('q', 'w', 'e', 'r', 't')
1 ('q', 'w', 'e', 't', 'r')
2 ('q', 'w', 'r', 'e', 't')
[snip]
118 ('t', 'r', 'e', 'q', 'w')
119 ('t', 'r', 'e', 'w', 'q')

組み合わせ


\begin{eqnarray*}  && {}_n \mathrm{C} _r\end{eqnarray*}  =
\frac{
\begin{eqnarray*}  && {}_n \mathrm{P} _r\end{eqnarray*}
}{r!}  = 

\frac{n!}{r!(n-r)!}

二項定理

n \in \mathbb{R} \ のとき
(a+b)^n = \ \displaystyle \sum_{r=0}^n \begin{eqnarray*}  && {}_n \mathrm{C} _r\end{eqnarray*} \ a^{n-r} \ b^r

確率

 標本事象の大きさを\, n \, とし、どの根元事象の起こる可能性も同じ場合、\\ ある事象\, E \, の起こる数が\, r \, とすると、 \\
\hspace{15pt} Pr(E) \ = \ \frac{r}{n} \\
といえる. \\ \\ \\


 Eventを \, N \, 回繰り返したとき、ある事象A \ が \ n \, 回おこったとき、\\ 
 Nを増やしていくと \frac{n}{N} \ がある値 \, p \, に近づく。その \ p \, を事象A \, の(統計的)確率という \\
 \hspace{15pt} p = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{n}{N} \\

例題

トランプのカード52枚のうち、A,K,Q,Jを絵札とする。1枚取り出したときの確率を答えよ。
(1)ハートの絵札である確率
(2)ハートの札でも絵札でもない確率

答え
(1)A,K,G,Jの各々ハートは1枚しかないので、 \frac{4}{52} = \frac{1}{13}

(2) Pr(Ans) = \overline{Pr(heart)} \land \overline{Pr(\{ A,K,G,J \} )}
 \overline{Pr(heart) \lor Pr(\{ A,K,G,J \} ) }  \hspace{10pt} ---(1)
ここで、
 Pr(heart) \lor Pr(\{ A,K,G,J \} ) を解くのだが、
 Pr(heart) \lor Pr(\{ A,K,G,J \} ) = Pr(heart) +  Pr(\{ A,K,G,J \} ) - ( Pr(heart) \land Pr(\{ A,K,G,J \} ) ) \\ \\

  \hspace{100pt} =\ \frac{13+16}{52} - \ \frac{4}{52}  = \ \frac{25}{52} \\ \\

 \\ \\ \therefore (1)に代入して \frac{52-25}{52} = \ \frac{27}{52}

条件付き確率


        \newcommand\arrarystretch{2}
        \begin{array}{|c|c|} \hline
                q & B & \overline{B} &  計 \\\hline
                A & \alpha & \beta & a+b \\\hline
                \overline{A} & c & d & c+d \\\hline
                計 & a+c & b+d & N \\\hline

        \end{array} \\ \\
a+b+c+d = N
a+b \neq 0 であるとき、a は空事象ではないし、 \\
事象Fが起きるときに事象Eも起こるときの確率を  \\
Pr(E|F) \ か Pr_{F}(E) \ と書く。 \\  \\ \\
\displaystyle Pr(E|F)  = \frac{n(E \land F)}{n(E)} = \frac{ \frac{a}{N} }{ \frac{a+b}{N} } = \frac{Pr( E \land F)}{Pr(F)} \hspace{10pt} (Pr(F) > 0 \ のときのみ) \\
といえる.

問題1.ある家庭には2人の子供がいる.男女の出生率は等しいと仮定して,以下の問に答えよ.
(1)2人とも男の子である確率はいくらか.
(2)1人は男の子であると分かったとする.2人とも男の子である確率はいくらか
(3)年長の子が男の子であると分かっている場合なら,2人とも男の子である確率はいくらか

http://ocw.tsukuba.ac.jp/wp-content/uploads/2014/07/Chapter-1-rev-20142.pdf

例題

 10本のくじの中に当たりくじが3本入っていて、AとBが順に1本ずつ取っていった時、次の確率を求めよ.
(1)AとBがそれぞれ当たる確率
(2)2人とも外れる確率

答え
書くのめんどうくさい

独立 and ベルヌーイ(独立)試行

 独立かどうかは、Pr(E)Pr(F) = Pr(E \land F) \ がなりたつかどうか。事象F \ に影響されないなら、事象E \ は独立と言える
 独立試行 \displaystyle p_r = \begin{eqnarray*}
  && {}_n \mathrm{C} _r
\end{eqnarray*} p^n q^{n-r}  \ である

ベイズの定理

 Pr(E_j|B) = \displaystyle \frac{Pr(E_j \land B)}{Pr(B)} =   \frac{Pr(E)Pr(B|E_j)}{ \displaystyle \sum_{i=1}^n Pr(E_i) Pr(B|E_i)} となる.

アホだからよく忘れるんですが、
 Pr(A \land B) = Pr(A)P(B | A) というのはよく出てくるしめっちゃ重要。
ちなみに、どうやってこの式が導かれているのかはしらないので要勉強

 Pr(A \land B) = Pr(A)Pr(B | A)  がわかったので、説明します。
 Pr(B | A) = \displaystyle \frac{Pr(B \land A)}{Pr(A)}という条件付き確率になるには、 \\
Cardinality(B) = Card(B)とCard(A)とCard(A \land B)という状況を理解できればわかる。\\
ベン図で描くと分かる通り、最終的にわかりたい値は Pr(A \land B)である。 \\
\displaystyle \frac{ Card(A \land B)}{Card(A)} は、「Aのうち、A \land Bした数(個数)」という意味で、 \\
\displaystyle \frac{ Card(X) }{ Card( \Omega )} = Pr(X) なので、自明である.