主に、強化学習

情報系の大学2年生が確率に関連したことを多めに書いてるブログ

数学との出会い1 - 魔方陣

魔法陣と有限幾何学(一日目

n次方陣に0から  n^2 - 1 の整数をもれなく重複なく入れる.どの横の行の和もどの縦の列の和も等しいとき、n次魔法陣という.

試行錯誤しないとダメ。絶対。

0 4 8
7 2 3
5 6 1

3次魔法陣の例.

ラテン方陣
 n次方陣に0から n^2 - 1 の整数を入れて、どの横の行も縦の列も、0から`n-1`がもれなく、重複なくあるものをラテン方陣という。


オイラー方陣:
n次ラテン方陣  A = (a_{ij} ),B=(b_{ij} )


  A = \left(
    \begin{array}{cccc}
      a_{11} & a_{12} &  a_{13} \\
      a_{21} & a_{22} &  a_{21} \\
      a_{31} & a_{32} &  a_{33}
    \end{array}
  \right)

A,B -> (i,j) 成分が  ( a_(ij) , b_(ij) ) であるn次方陣  ( a_(ij) , b_(ij) ) がすべて異なるとき、AとBは直行するといい、このときの方陣をn次オイラー方陣という.

同じ成分が入っていなかったら「オイラー方陣

  A = \left(   
  \begin{array}{cccc}     
    (0,0) & (1,1) &  (2,2) & (3,3) \\     
    (3,1) & (0,2) & (1,3) & (2,0) \\
 (2,2) & (3,3) & (0,0) & (1,1 \\
 (1,3) & (2,0) & (3,1) & (0,2) \\
 \end{array}  \right)

奇数次のときの右にひとつずらすとオイラー方陣になる.

オイラー方陣から魔法陣へ

n進表記
 a = a + a_{1}n + a_{2}n^2 + ・・・ + a_{r}n^r 
a の n進表記 
a_{r}a{r-1} ・・・ a_{1}a_{0}
(a \leq a_{i} \leq n - 1)

 \left(   
  \begin{array}{cccc}   
      (0,0) & (1,1) &  (2,2) \\
      (2,1) & (0,2) &  (1,0) \\
     (1,2) & (2,0 )&  (0,1)
 \end{array}  \right)

を3進表記と思う.
これは魔法陣である。
\\

 \left(   
  \begin{array}{cccc}   
      00 & 11 &  22 \\
     21 & 02 &  10 \\
     12 &  20 &  01
 \end{array}  \right)

7次、9次・・・
奇数次の魔法陣はラテン方陣オイラー方陣から作れる.


(α, β, γ : 定まった実数 )\\
αx + βy = γ\\
を満たす (x, y) の全体 (x,y : 実数)\\

これが平面の直線\\
\mathbb{R}: 実数全体\\
\mathbb{R}  =\{ {(x,y)  |  x,y \in \mathbb{R} } \} : 平面\\

+ : 加法 0\\
・: 乗法 1\\
とこれらの逆演算\\
→体(加減乗除が可能な集合)\\

{0,1} \\

 \left(   
  \begin{array}{cccc}   
\dotplus & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0 \\
 \end{array} 
\right)

\left(   
  \begin{array}{cccc}   
\cdot & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 \\
 \end{array}  
\right)


\mathbb{F} : 二元体

 有限体Z_{2}とは,\\
整数全体を2で割った時の余りによる集合のことです。
したがって,Z_{2}の元は,0と1のみということになります。\\
その足し算と掛け算表は以下になります\\
\\ \\
	\newcommand\arrarystretch{2}
	\begin{array}{|c|c|} \hline
		\dotplus & 0 & 1 \\\hline
		0 & 0 & 1 \\\hline
		1 & 1 & 0 \\\hline

	\end{array} \ \ \ 	
       \newcommand\arrarystretch{2}
	\begin{array}{|c|c|} \hline
		* & 0 & 1 \\\hline
		0 & 0 & 0 \\\hline
		1 & 0 & 1 \\\hline

	\end{array}

http://www.tsuyama-ct.ac.jp/matsuda/surikogaku/surib1.pdf

☆☆☆☆ ONE WEEK AFTER ☆☆☆☆

魔法陣と有限幾何学(二日目

先生「1+1 = 0 になるのではなく、1+1 = 0と決めるんですね」
僕「ファ!?」
先生「自然数で使われる四則演算とは違う」


\mathbb{F}_{3} = {\{0,1,2\} }

 \left(   
  \begin{array}{cccc}   
\dotplus & 0 & 1 & 2\\
0 & 0 & 1 & 2 \\
1 & 1 & 2 & 0 \\
2 & 2 & 0 & 1 \\
 \end{array} 
\right)
普通の加法の結果を 3 で割ってあまりを取る。(モジュラ?

P := 素数 \\
\mathbb{F}_{P} = {\{0,1,2, \dots , P-1 \} } \\
普通の加法・乗法の結果をPで割ってあまりを取る

4の場合、
 2・2 = 4 → 0(余り) \\
\mathbb{R} → \mathbb{F}_{3} = { \{ 0,1,2  \} } \\
実数: \mathbb{R}^2

 1 \cdot x + 1 \cdot y = 0
  \{ { (x,y) \in \mathbb{F_{3}}^2 | 1 \cdot x + 1 \cdot y = 0  \} }
 { \{  (0,0) , (1,2) , (2,1)  \} } \\


 \{ { (x,y) \in \mathbb{F_{3}}^2 | 1 \cdot x + 1 \cdot y = 1 \} }
 { \{  (0,1) , (1,0) , (2,2)  \} } \\


 \{ { (x,y) \in \mathbb{F_{3}}^2 | 1 \cdot x + 1 \cdot y = 2 \} }
 { \{  (0,2) , (1,1) , (2,0)  \} }

ここにラテン方陣の表が入る(書く時間がなかった)

アファイン表面 \mathbb{Z_{3} \times  Z_{3}}

  \{ { (x,y) \in \mathbb{F^2}_{3} | 2 \cdot x + 1 \cdot y = 0  \} }
 { \{  (0,0) , (1,1) , (2,2)  \} } \\

 \{ { (x,y) \in \mathbb{F^2}_{3} | 2 \cdot x + 1 \cdot y = 1 \} }
 { \{  (0,1) , (1,2) , (2,0)  \} } \\

 \{ { (x,y) \in \mathbb{F^2}_{3} | 2 \cdot x + 1 \cdot y = 2 \} }
 { \{  (0,2) , (1,0) , (2,1)  \} } \\

ラテン方陣

2 1 0
1 0 2
0 2 1

オイラー方陣

(2,2) (0,1) (1,0)
(1,1) (2,0) (0,2)
(0,0) (1,2) (2,1)

3進方陣

22 01 10
11 20 02
00 12 21

10進数表記

8 1 3
4 6 2
0 5 7

 有限体\mathbb{F} → \mathbb{F^2}の並行な集まり → ラテン方陣 → \\
オイラー方陣 → 魔法陣
 \mathbb{F^2}の並行な集まり は、有限幾何学 である


\mathbb{F}_{5} = { \{  0,1,2,3,4  \} }
 \mathbb{F^2}_{5} = { \{ ( \, x, \, y) \, | \, x,y \, \in \mathbb{F}_5  \} } 
平行直線 → 5次ラテン方陣 → 5次オイラー方陣 → 5次魔法陣
 \mathbb{F}_{2} → \mathbb{F}_{4}

 \mathbb{R 実数} \\
↓ i^2 = -1 となるiを付加 \\
\mathbb{C_{i}} 複素数

 1+ \alpha + \alpha^2 = 0 \\
を満たす\alphaを \mathbb{F_{2}}に付加する
 \alpha^2 = -1 -\alpha = 1 + \alpha \\
\mathbb{F_{4}} = { \{  0,1,\alpha,1+ \alpha  \} }  \\
1 + \beta = \alpha (\because 1 + \beta = \alpha)  ファ?

課題

☆ 魔法陣を2つ構成


☆ 感想

課題の回答

1.ラテン方陣を2つ作る


	\newcommand\arrarystretch{2}
	\begin{array}{|c|c|} \hline
		0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\\hline
		1 & 2 & 3 & 4 & 0 \\\hline
		2 & 3 & 4 & 0 & 1 \\\hline
		3 & 4 & 0 & 1 & 2 \\\hline
		4 & 0 & 1 & 2 & 3 \\\hline

	\end{array} \ \ \ 
	\newcommand\arrarystretch{2}
	\begin{array}{|c|c|} \hline
		0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\\hline
		4 & 0 & 1 & 2 & 3 \\\hline
		3 & 4 & 0 & 1 & 2 \\\hline
		2 & 3 & 4 & 0 & 1 \\\hline
		1 & 2 & 3 & 4 & 0 \\\hline

	\end{array}

2.直行しないラテン方陣(オイラー方陣)を作る


	\newcommand\arrarystretch{2}
	\begin{array}{|c|c|} \hline
		(0,0) & (1,1) & (2,2) & (3,3) & (4,4) \\\hline
		(1,4) & (2,0) & (3,1) & (4,2) & (0,3) \\\hline
		(2,3) & (3,4) & (4,0) & (0,1) & (1,3) \\\hline
		(3,2) & (4,3) & (0,4) & (1,0) & (2,1) \\\hline
		(4,1) & (0,2) & (1,3) & (2,4) & (3,4) \\\hline

	\end{array}

3. 5進法になおす


	\newcommand\arrarystretch{2}
	\begin{array}{|c|c|} \hline
		0 & 11 & 22 & 33 & 44 \\\hline
		14 & 20 & 31 & 42 & 3 \\\hline
		23 & 34 & 40 & 1 & 13 \\\hline
		32 & 43 & 4 & 10 & 21 \\\hline
		41 & 2 & 13 & 24 & 30 \\\hline

	\end{array}

4. 5進法 → 10進法になおす


	\newcommand\arrarystretch{2}
	\begin{array}{|c|c|} \hline
		0 & 6 & 12 & 18 & 24 \\\hline
		9 & 10 & 16 & 22 & 3 \\\hline
		13 & 19 & 20 & 1 & 8 \\\hline
		17 & 23 & 4 & 5 & 11 \\\hline
		21 & 2 & 8 & 14 & 15 \\\hline

	\end{array}

感想

まず、魔法陣という言葉は知っていたが今まで作ったことはなかったし、
ラテン方陣オイラー方陣という言葉はそろそろ知らなかった。
現在の感想としては、これらがどのような数学的作用を経てこのような魔法陣を
作れるようになったかという疑問がまだ残っている。
つまり、ラテン方陣オイラー方陣、アファイン表面のこれらの
計算で出てくるというか、アルゴリズムはわかったけれどそのアルゴリズム
どうなっているかということは全然わからなかった。
授業ではその証明を先生がしていたかは理解できなかったが、もししていたら残念だ。

わからないこと

 ここで、\alpha は \alpha^2 \ \alpha + 1 = 0\ に満足しており、
したがって、\alpha^2 = -(\alpha + 1) \ = (\alpha + 1) \ とも言える

・P.10で言ってること基本的にわからない

http://www.tsuyama-ct.ac.jp/matsuda/surikogaku/surib1.pdf

参考文献

数理工学(魔法陣)
(テキスト)
担当:松田 修

http://www.tsuyama-ct.ac.jp/matsuda/surikogaku/surib1.pdf

PythonTeXパーステスト

 
\newcommand\arrarystretch{2}
	\begin{array}{|c|c|} \hline
		3 & 1 & (3,2) \\\hline
		5 & 3 & 2 \\\hline
		(3,1) & 5 & 5 \\\hline
\end{array}

 

\left(
 \begin{array}{cccc}
  2 & \alpha & 3 & 3 \\
  2 & 3 & 1 & (4,5) \\
  2 & 1 & 3 & (1,2,3) \\
	\end{array}
\right)


\newcommand\arrarystretch{5}
	\begin{array}{|c|c|} \hline
		2 & \alpha & 3 & \dotplus \\\hline
		2 & 3 & 1 & (4,5) \\\hline
		2 & 1 & 3 & (1,2,3) \\\hline
\end{array}


	\left(
	\begin{array}{cccc}
		a_{1} & a_{2} & a_{3} & a_{4} \\
		\end{array}
	\right)


	\left(
	\begin{array}{cccc}
		1 & \cdots & 100 \\
		\end{array}
	\right)

 { \{ \,(x,y)\,|\,x,y\,\in\,Fr_5\,\} }