1.1.数学的準備@最適化数学 - 法線ベクトル
Commentary.
二変数関数f(x,y)及び連続微分可能な関数の場合の法線ベクトルについてです。
まず定理としては、
ということなんですが、全然納得が出来てません。
途中の証明に
とも書かれていて、
と書いてるし、マジで意味不明です…。
追記 - (1)
テイラー展開からどのように直交、法線ベクトルを求めたか、ぼんやりと理解できた気がする。
要は、テイラー展開によって
ということがわかり、(1.4)で 0となっているので、「もしベクトル形式だったら直交」であると言え、(1.5)のかたちで、(1.3)は消えるので、偏導関数の部分だけになり、それをベクトル形式に変換し、内積してる形にすることが出来る。それが であるということです。
あと、ちょっとキレそうなのが
って先日書いたやつなんですけど、
って書いてくれてたらまだわかったかもしれない…、(2)より(1)のほうが正しい理由がわかんねぇ…。
+ ... 以降は、2次以上になっていってそれを小さくしていくとなくなるから。とのことかもです。
追記 from teacher
ではなく,本のが正しいです.
というのは, をテーラー展開したとき, ブログのにおいて
の部分があるわけで,その部分が
の部分に効いてきていま
す. 今はテーラー展開したいので
という量をもちだしているわけですが, これは最終的
に0にもっていくので,それに伴って
の部分もゼロになり,よって最終的にはになるわけです.
ブログ内の(1)と(2)で両方が出てきていますが, その2つ
のは意味が違います.
(1)のは正確に書くとであり,
(2)のは正確に書くとです.
がに収束した結果が
に収束しています.
まとめると, (1)のは正確に書くと
であり, ここのを0に収束させる
との部分はに収束し,
はに収束するので
(1)'は晴れて
となるわけです.